Calculo integral: Parametrización de Curvas | Examen resuelto

En Cálculo integral por
febrero 26, 2019 7:27 am

Para el conjunto de ecuaciones paramétricas:

x= 3cos³(t), y = a sen³(t), en 0 ≤ t ≤ 2π.

  1.  Trace la curva correspondiente al conjunto de ecuaciones paramétricas e indicar el sentido en el cual se recorre la curva.
  2. Por medio de una integral, calcule la longitud total de la curva.
  3. Por medio de una integral, calcule el área de la región encerrada por la curva.
  4. Por medio de una integral, calcule el área de la superficie obtenida al rotar la porción de la curva correspondiente a 0 ≤ t ≤ 2π alrededor del eje x.

Solución:

PUNTO 1:
Con la siguiente tabla podemos ver algunos puntos de la gráfica.

– la gráfica del conjuntos de ecuaciones paramétricas es un astroide, la curva se recorre en sentido anti horario, como se puede ver en la siguiente imagen


PUNTO 2: longitud total de la curva.

La longitud L de una curva C dada por las ecuaciónes paramétricas

x=f(t) ,    y = g(t)  ,  a ≤ t ≤ b

Cuando C es recorrida una vez, de izquierda a derecha, cuando t se
incrementa de a a b es:

donde x= f(t) , y = g(t), entonces:

reemplazando en la formula, tenemos que:

como el cos(t) es negativo en: π/2 ≤ t ≤ 3π/2 y el sen(t) es negativo en: π ≤ t ≤ 2π

Entonces dividimos la integral en 4 partes y aplicamos valor absoluto donde los valores sean negativos:

Para terminar, sumamos los 4 resultados y tenemos que la longitud de arco es igual a 18.


PUNTO 3: área de la región encerrada por la curva.

Si una curva C está dada por las ecuaciones paramétricas:
x = f(t),  y = g(t), α ≤ t ≤  β, entonces el área A bajo C se calcula
de la siguiente forma:

 

 


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